学术期刊发表网 位置：非线性Volterra方程零解的全局渐近稳定性 时间： 2022-06-12 23:14:52 (12 )

摘要：14次 摘要：利用不动点理论,研究具有可变时滞的非线性Volterra方程x(t)=-a(t)x(t)+q(t, x(t-1(t)), x(t-1(t)))+t-2(t)t k(t, s) f(t, x(s), x(s))ds,给出了该方程在C

14次 摘要：利用不动点理论,研究具有可变时滞的非线性Volterra方程x(t)=-a(t)x(t)+q(t, x(t-1(t)), x(t-1(t)))+t-2(t)t k(t, s) f(t, x(s), x(s))ds,给出了该方程在C1空间上零解全局渐近稳定的新条件。这些新条件不需要时滞可微,也不要求1。所得结论推广了已有文 --> 　　摘要：利用不动点理论,研究具有可变时滞的非线性Volterra方程x′(t)=-a(t)x(t)+q(t, x(t-τ1(t)), x′(t-τ1(t)))+∫t-τ2(t)t k(t, s) f(t, x(s), x′(s))ds,给出了该方程在C1空间上零解全局渐近稳定的新条件。这些新条件不需要时滞τ可微,也不要求τ′≠1。所得结论推广了已有文献中的相应结果,并给出了一个实例验证了所得结论的有效性。　　关键词：非线性; Volterra方程; 不动点定理; 渐近稳定性; 零解;　　长期以来,微分方程稳定性的研究一直受到广大研究者的关注,并取得了一系列成果。文献[1-5]利用不动点理论研究了微分方程零解的稳定性,文献[6-11]采用相同的方法研究了微分方程零解的渐近稳定性。　　1 预备知识　　2013年,文献[6]利用不动点理论研究了时滞中立型Volterra微分方程　　　　零解的渐近稳定性,其中c可微且τ二次可微,τ′(t)≠1,t∈[0,∞)。　　2015年,文献[7]利用不动点理论研究了非线性Volterra方程　　　　零解的稳定性,其中τ可微且τ′(t)≠1,t∈[0,∞)。在此基础上,本文考虑以下非线性Volterra方程零解的全局渐近稳定性　　　　为了得到本文结果,对方程(3)给出以下假设:　　H1:a∈C([0,∞),R)且有界,q,f∈C([0,∞)×R×R,R)以及τi∈C([0,∞),R+),　　H2:对任意xi,yi∈R,存在li,hi∈C([0,∞),R+),i=1,2,均有　　其中q(t,0,0)=f(t,0,0)=0,t≥0。　　H3:存在常数α∈(0,1),对t≥0,有　　　　　　此外,对任意t0∈[0,∞),设方程(3)的初始函数空间为　　　　其中表示φ(t)在t0的左导数。　　2 主要结论　　对任意若在[t0,∞)上满足方程(3),且当时,x(t)=φ(t),则称x为方程(3)经过(t0,φ)的解,记为x(t)=x(t,t0,φ)。　　定义1对任意t0≥0,ε>0,存在正数δ=δ(t0,ε),使得当时,对任意,则称方程(3)的零解是稳定的。　　定义2若方程(3)的零解是稳定的,且对任意t0≥0,,均有　　则称方程(3)的零解是全局渐近稳定的。　　定理1设H1～H3成立。若∫0∞a(s)ds=∞,则方程(3)的零解全局渐近稳定。　　证明对任意t0≥0,设　　且其范数为,则X为Banach空间。对任意,令　　显然,D为X的一个非空闭子集。定义算子如下,对任意x∈D,当时,(Px)(t)=φ(t)。当t≥t0时,　　　　　　首先证明P:D→D。对任意x∈D,当t>t0时,　　　　由St0的定义可知,　　　　其中(Px)′+(t0)表示(Px)(t)在t0的右导数。因此,对任意x∈D,　　　　　　对于式(4)中最后一项I3,由H1～H3和式(6)可知,对任意t>T以及x∈D,有　　　　此外,存在T1>T,使得对任意t>T1,有　　　　从而,|I 3|<ε+αε<2ε,即t→∞,I3→0。同样地,可以证明当t→∞时,式(4)中剩余两项I1,I2→0。因此,对于任意。此外,由(5)式和H2可得　　　　由H1～H3可知,对任意　　接着证明P:D→D是一个压缩映射。对任意x,y∈D,当t≥t0时,　　　　此外,由式(5)和式(7)以及H3可知,对任意x,y∈D,当t≥t0时,　　　　由式(7)和式(8)可知,P:D→D是一个压缩映射。由压缩映射原理可知,P在D中有唯一一个不动点x。x是方程(3)经过(t0,φ)的唯一一个解,且满足　　　　为了证明方程(3)的零解是全局渐近稳定,需要证明方程(3)的零解在C1中是稳定的,令　　　　对任意ε>0,令δ>0且满足　　　　　　这与t*的定义相矛盾。若|x′(t*)|=ε,则由H2,H3和式(5)可得　　　　这与t*的定义相矛盾。因此方程(3)的零解是稳定的。由式(9)可知,方程(3)的零解是全局渐近稳定的。故定理1得证。　　注1文献[6]要求c可微且τ二次可微,τ′(t)≠1;文献[7]要求τ连续可微,τ′(t)≠1。但本文定理1中仅要求τ连续,不需要τ′(t)≠1。此外,本文给出了C1空间中零解全局渐近稳定的定理,而文献[6-7]给出的是C空间零解的渐近稳定定理。　　3 算例　　例1考虑以下非线性Volterra方程　　　　　　　　解显然a∈C([0,∞),R)有界,q,f∈([0,∞)×R×R,R)以及τi∈C([0,∞),R+),,i=1,2,通过计算可得,则假设H1成立。　　令l1(t)=l2(t)=1[20(1+t)],h1(t)=h2(t)=1[10(1+t)],则假设H2成立。　　令α=3 /5,对任意t≥0,则有　　　　以及　　　　从而假设H3成立。故由定理1可知,方程(10)的零解全局渐近稳定。　　注2文献[6-7]给出的定理不能用于判别方程(10)的零解全局渐近稳定。　　参考文献　　[1] JIN C H,LUO J W. Stability of an integro-differential equation[J]. Computers and Mathematics with Applications,2009,57(7):1080-1088.　　[2] JIN C H,LUO J W. Stability in functional differential equations established using fixed point theory[J]. Nonlinear Analysis,2008,68(11):3307-3315.　　[3] ARDJOUNI A,DJOUDI A,SOUALHIA I. Stability for linear neutral integro-differential equations with variable delays[J].Electronic Journal of Differential Equations,2012,172:841-854.　　[4] ZHANG B. Fixed points and stability in differential equations with variable delays[J]. Nonlinear Analysis,2005,63(5):233-242.　　[5] NIU J R,XU D Y. Stability of neutral integro-differential equations with infinite delays[J]. Journal of Sichuan University,2005,42(5):881-884.　　[6] ARDJOUNI A. Fixed points and stability in nonlinear neutral volterra integro-differential equations with variable delays[J]. Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations,2013(28):1-13.　　[7]钟越.一类非线性Volterra方程零解的稳定性[J].数学物理学报,2015,35(5):878-883.　　[8] JIN C H,LUO J W. Asymptotic stability of differential equations with several delays[J]. Publications Mathematica,2011,78:89-102.　　[9]黄明辉.多时滞的非线性微分方程的渐近稳定性[J].广东工业大学学报,2016,33(1):62-66.　　[10] ARDJOUNI A. Stability in totally nonlinear neutral differential equations with variable delay using fixed point[J]. Proyecciones Journal of Mathematics,2015,34:25-44.　　[11] MESMOULI M B,ARDJOVNA A,DJOVDI A. Periodic solutions and stability in a nonlinear neutral system of differential equations with infinite delay[J]. Boletín de la Sociedad Matemática Mexicana,2016,24(1):239-255.

与“相关期刊”

中国电子科学研究院学报
摘要:杂志简介 《中国电子科学研讨院学报》是由中国电子科技集团公司主管、中国电子科学研讨院主办...查看详情

太赫兹科学与电子信息学报
摘要:杂志简介 《太赫兹科学与电子信息学报》前身为《信息与电子工程》（2003年创刊，双月刊），是由中国工...查看详情

机械与电子
摘要:《机械与电子》（月刊）创刊于1983年，由国度机械工业局科技委与贵州省机械工业厅结合主办的全国性的...查看详情

福建行政学院学报
摘要:《福建行政学院学报》期刊级别：省级期刊期刊周期：双月刊国内刊号：35-1295/D国际刊号：1674-3199主办...查看详情

陕西行政学院学报
摘要:《陕西行政学院学报》期刊级别：省级期刊期刊周期：季刊国内刊号：61-1461/D国际刊号：1673-9973主办单...查看详情